算法训练营（day53）

动态规划理论基础

动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

举个例子：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

动态规划中 dp[j] 是由 dp[j-weight[i]] 推导出来的，然后取 max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。

动态规划的解题步骤

确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp 数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导 dp 数组

1143. 最长公共子序列

题目链接：https://leetcode.cn/problems/longest-common-subsequence/description/

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

解题思路

解题过程：动态规划

按照动规五部曲来分析：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]

本题的 dp[i][j]：长度为 [0, i - 1] 的字符串text1与长度为 [0, j - 1] 的字符串text2的最长公共子序列

确定递推公式

text1[i - 1] 与 text2[j - 1] 相同，则dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
text1[i - 1]与 text2[j - 1] 不相同，则 dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

所以递推公式是：

if(t1 == t2){
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}else{
    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}

dp数组的初始化

因为 dp[0][0] 的值会随着遍历被覆盖，所以直接初始化为0即可。

1	int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1];

确定遍历顺序

根据递推公式可以得出，dp[i][j] 是从前到后，从左往右遍历的一个矩阵

for(int i = 1; i < text1.length() + 1; i++){
    char t1 = text1.charAt(i - 1);
    for(int j = 1; j < text2.length() + 1; j++){
        char t2 = text2.charAt(j - 1);
        if(t1 == t2){
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
        }else{
            dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
}

推导dp数组

详细代码

二维动规：

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1];
        for(int i = 1; i < text1.length() + 1; i++){
            char t1 = text1.charAt(i - 1);
            for(int j = 1; j < text2.length() + 1; j++){
                char t2 = text2.charAt(j - 1);
                if(t1 == t2){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.length()][text2.length()];
    }
}

滚动数组（一维）：

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int[] dp = new int[text2.length() + 1];
        
        for(int i = 1; i < text1.length() + 1; i++){
            int pre = dp[0];
            for(int j = 1; j < text2.length() + 1; j++){
                int cur = dp[j];
                if(text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)){
                    dp[j] = pre + 1;
                }else {
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1]);
                }
                pre = cur;
            }
        }
        return dp[text2.length()];
    }
}

1035. 不相交的线

题目链接：https://leetcode.cn/problems/uncrossed-lines/description/

在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。

现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：

nums1[i] == nums2[j]
且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。

以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。

解题思路

解题过程：动态规划

按照动规五部曲来分析：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]

求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度

本题的 dp[i][j]：长度为 [0, i - 1] 的字符串nums1与长度为 [0, j - 1] 的字符串nums2的最长公共子序列

直接沿用题1143 的公式即可求解

确定递推公式

nums1[i - 1] 与 nums2[j - 1] 相同，则dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
nums1[i - 1]与 nums2[j - 1] 不相同，则 dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

所以递推公式是：

if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]){
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}else{
    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}

dp数组的初始化

因为 dp[0][0] 的值会随着遍历被覆盖，所以直接初始化为0即可。

1	int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];

确定遍历顺序

根据递推公式可以得出，dp[i][j] 是从前到后，从左往右遍历的一个矩阵

for(int i = 1; i < nums1.length + 1; i++){
    for(int j = 1; j < nums2.length + 1; j++){
        if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]){
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
        }else {
            dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
}

推导dp数组

详细代码

class Solution {
    public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
        int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];

        for(int i = 1; i < nums1.length + 1; i++){
            for(int j = 1; j < nums2.length + 1; j++){
                if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[nums1.length][nums2.length];
    }
}

53. 最大子数组和

题目链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/description/

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

解题思路

解题过程：动态规划

按照动规五部曲来分析：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]

本题的 dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和。

确定递推公式

dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i] 加入当前连续子序列和
nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

所以递推公式是：**dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])**

dp数组的初始化

初始化 dp[0] 即为 nums[0]

确定遍历顺序

递推公式中 dp[i] 依赖于 dp[i - 1] 的状态，需要从前向后遍历

同时需要把 dp[i] 的最大值 res 记录下来

for(int i = 1; i < nums.length; i++){
    dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
    res = Math.max(dp[i], res);
}

推导dp数组

详细代码

动态规划：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if(nums.length == 0){
            return 0;
        }
        int res = nums[0];
        int[] dp =  new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];

        for(int i = 1; i < nums.length; i++){
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
            res = Math.max(dp[i], res);
        }
        return res;
    }
}

贪心递归：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int res = nums[0];
        int pre = nums[0];

        for(int i = 1; i < nums.length; i++){
            pre = Math.max(pre + nums[i], nums[i]);
            res = Math.max(res, pre);
        }
        return res;
    }
}