算法训练营（day48-51）

动态规划理论基础

动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

举个例子：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

动态规划中 dp[j] 是由 dp[j-weight[i]] 推导出来的，然后取 max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。

动态规划的解题步骤

1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp 数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导 dp 数组

121. 买卖股票的最佳时机

题目链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/description/

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

解题思路

解题过程：动态规划

按照动规五部曲来分析：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

​ dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]

​ 本题的 dp[i]：第i天持有股票所得最多现金

2. 确定递推公式

• 如果第 i 天 持有股票 即 dp[i][0] ， 那么可以由两个状态推出来

  • 第 i-1 天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]

  • 第 i 天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即： -prices[i]

​ 那么 dp[i][0] 应该选所得现金最大的，所以 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

• 如果第 i 天 不持有股票 即 dp[i][1] ， 也可以由两个状态推出来

  • 第 i-1 天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即： dp[i - 1][1]

  • 第 i 天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即： prices[i] + dp[i - 1][0]

​ 同样 dp[i][1] 取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]) ;

3. dp数组的初始化

​ 递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]

int[] dp = new int[2];
dp[0] = -prices[0]; //买入
dp[1] = 0;          //卖出

4. 确定遍历顺序

​ dp[i] 是根据 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！

for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
       dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i - 1]);
       dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1]);
   }

5. 推导dp数组

详细代码

动态规划：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int[] dp = new int[2];
        dp[0] = -prices[0]; //买入
        dp[1] = 0;          //卖出

        for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
            dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i - 1]);
            dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1]);
        }
        return dp[1];
    }
}

贪心：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int low = Integer.MAX_VALUE;
        int res = 0;
        for(int i = 0; i < prices.length; i++){
            low = Math.min(low, prices[i]);
            res = Math.max(prices[i] - low, res);
        }
        return res;
    }
}

122. 买卖股票的最佳时机 II

题目链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii/description/

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

解题思路

解题过程：动态规划

按照动规五部曲来分析：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

​ dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]

​ 本题的 dp[i]：第i天持有股票所得最多现金

2. 确定递推公式

• 如果第 i 天持有股票即 dp[i][0] ， 那么可以由两个状态推出来

  • 第 i-1 天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]

  • 第 i 天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即： dp[i - 1][1] - prices[i]

​ 那么 dp[i][0] 应该选所得现金最大的，所以 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] -prices[i]);

• 如果第 i 天不持有股票即 dp[i][1] ， 也可以由两个状态推出来

  • 第 i-1 天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即： dp[i - 1][1]

  • 第 i 天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即： prices[i] + dp[i - 1][0]

​ 同样 dp[i][1] 取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]) ;

3. dp数组的初始化

​ 递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]

int[][] dp = new int[prices.length][2];
dp[0][0] = -prices[0];	//买入
dp[0][1] = 0;			//卖出      

4. 确定遍历顺序

​ dp[i] 是根据 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！

for(int i = 1; i < prices.length; i++){
    dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
    dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
}

5. 推导dp数组

详细代码

动态规划：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;

        for(int i = 1; i < prices.length; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[prices.length - 1][1];
    }
}

递归：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int res = 0;
        for(int i = 1; i < prices.length; i++){
            res += Math.max(prices[i] - prices[i - 1], 0);
        }
        return res;
    }
}

123. 买卖股票的最佳时机 III

题目链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/description/

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

解题思路

解题过程：动态规划

按照动规五部曲来分析：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

​ dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]

​ 本题的 dp[i]：第i次买卖股票所得最多现金

2. 确定递推公式

• 如果只有1次 买卖股票 即只存在 dp[0] 和 dp[1] ， 那么可以由两个状态推出来

  • dp[0] 表示买入股票：

    • 前一天买入，-price[i - 1]

    • 不做任何操作，保留 dp[0]

  • dp[1] 表示卖出股票：

    • 前一天卖出，dp[0] + price[i - 1]
    • 不做任何操作，保留 dp[1]

• 如果存在 2次买卖股票 即存在四种情况 dp[0]、dp[1]、dp[2] 和 dp[3] ， 也可以由 一次买卖股票再推出 两个状态：

  • dp[2] 表示 第二次 买入股票：

    • 前一天买入，dp[1] - price[i - 1]

    • 不做任何操作，保留 dp[2]

  • dp[3] 表示 第二次 卖出股票：

    • 前一天卖出 dp[2] + price[i - 1]
    • 不做任何操作，保留 dp[3]

3. dp数组的初始化

​ 递推公式的基础就是四个状态：dp[0] 、 dp[1]、dp[2] 和 dp[3]

int[] dp = new int[4];
   dp[0] = -prices[0];
   dp[1] = 0;
   dp[2] = -prices[0];
   dp[3] = 0;

4. 确定遍历顺序

​ dp[i] 是根据 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！

for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
    dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i - 1]);
    dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1]);
    dp[2] = Math.max(dp[2], dp[1] - prices[i - 1]);
    dp[3] = Math.max(dp[3], dp[2] + prices[i - 1]);
}

5. 推导dp数组

详细代码

动态规划：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int[] dp = new int[4];
        dp[0] = -prices[0];
        dp[1] = 0;
        dp[2] = -prices[0];
        dp[3] = 0;

        for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
            dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i - 1]);
            dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1]);
            dp[2] = Math.max(dp[2], dp[1] - prices[i - 1]);
            dp[3] = Math.max(dp[3], dp[2] + prices[i - 1]);
        }
        return dp[3];
    }
}

188. 买卖股票的最佳时机 IV

题目链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/description/

给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

解题思路

解题过程：动态规划

按照动规五部曲来分析：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

​ dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]

​ 本题的 dp[2i]：第k（k = 2i）次买卖股票所得最多现金

2. 确定递推公式

   如果 k < 1，直接返回0就行

• 第1次 买卖股票 即只存在 dp[0] 和 dp[1] ， 那么可以由两个状态推出来

  • dp[0] 表示买入股票：

    • 前一天买入，-price[i - 1]

    • 不做任何操作，保留 dp[0]

  • dp[1] 表示卖出股票：
    • 前一天卖出，dp[0] + price[i - 1]
    • 不做任何操作，保留 dp[1]

• 后面的k次买卖股票，都由 一次买卖股票再推出 两个状态：for(int j = 2; j < dp.length; j += 2){}

  • dp[j] 表示买入股票
    • 前一天买入，dp[j - 1] - price[i - 1]
    • 不做任何操作，保留 dp[j]
  • dp[j + 1] 表示卖出股票：
    • 前一天卖出，dp[j] + price[i - 1]
    • 不做任何操作，保留 dp[j + 1]

3. dp数组的初始化

​ 递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]

   int[] dp = new int[2 * k];
for(int i = 0; i < dp.length / 2; i++){
       dp[i * 2] = -prices[0];
   }

   for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
       dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i - 1]);
       dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1]); 
       ...
   }

4. 确定遍历顺序

​ dp[i] 是根据 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！

for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
    dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i - 1]);
    dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1]);
    for(int j = 2; j < dp.length; j += 2){
        dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1] - prices[i - 1]);
        dp[j + 1] = Math.max(dp[j + 1], dp[j] + prices[i - 1]);
    }
}

5. 推导dp数组

详细代码

动态规划：

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if(prices.length == 0){
            return 0;
        }
        if(k == 0){
            return 0;
        }

        int[] dp = new int[2 * k];
        for(int i = 0; i < dp.length / 2; i++){
            dp[i * 2] = -prices[0];
        }

        for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
            dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i - 1]);
            dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1]);
            for(int j = 2; j < dp.length; j += 2){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1] - prices[i - 1]);
                dp[j + 1] = Math.max(dp[j + 1], dp[j] + prices[i - 1]);
            }
        }
        return dp[dp.length - 1];
    }
}

309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

题目链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/description/

给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 *i* 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

解题思路

解题过程：动态规划

按照动规五部曲来分析：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

​ dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]

​ 本题的 dp[i][j]：第i天状态为j，持有股票所得最多现金

​ 具体可以区分出如下四个状态：

• 不持有股票状态
  • 状态一：今天是冷冻期
  • 状态二：过了冷冻期
  • 状态三：今天卖出股票（明天是冷冻期）
• 持有股票状态
  • 状态四：保持买入股票的状态
    • 今天买入股票
    • 保持股票买入状态

其中，状态二和状态四可以是同一天，所以主要是三种情况

2. 确定递推公式

• 不持有股票 即 dp[i][0] ， 那么可以由两个状态推出来

• 第 i-1 天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]

• 第 i-1 天卖出股票，所得现金就是卖出今天的股票后所得现金即： dp[i - 1][1] + prices[i]

​ 那么 dp[i][0] 应该选所得现金最大的，所以 dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);

• 持有股票 即 dp[i][1] ， 也可以由两个状态推出来

• 第 i-1 天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即： dp[i - 1][1]

• 第 i-2 天卖出了股票（第 i - 1天是冷冻期），第 i 天要买入股票，所得现金就是按照第 i -2 天股票价格卖出后所得现金 减去当天的股票金额即： dp[i - 2][0] - prices[i]

​ 同样 dp[i][1] 取最大的，**dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 2][0] - prices[i]) **;

3. dp数组的初始化

​ **递推公式的基础就是第一次买卖股票 dp[0][0]、dp[0][1] 和 第一次过冷冻期后的 买卖股票 dp[1][0]、dp[1][1] **

int[][] dp = new int[prices.length][2];
dp[0][0] = 0;											//不操作（冷冻期）
dp[0][1] = -prices[0];									//买入
dp[1][0] = Math.max(dp[0][0], dp[0][1] + prices[1]);	//卖出或不操作（冷冻期）
dp[1][1] = Math.max(dp[0][1], - prices[1]);				//买入或冷冻期后买入

4. 确定遍历顺序

​ dp[i] 是根据 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！

for(int i = 2; i < prices.length; i++){
    dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
    dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 2][0] - prices[i]);
}

5. 推导dp数组

详细代码

解法一：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if(prices == null || prices.length < 2){
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[prices.length][2];

        dp[0][0] = 0;											//不操作（冷冻期）
        dp[0][1] = -prices[0];									//买入
        dp[1][0] = Math.max(dp[0][0], dp[0][1] + prices[1]);	//卖出或不操作（冷冻期）
        dp[1][1] = Math.max(dp[0][1], - prices[1]);	//买入或冷冻期后买入

        for(int i = 2; i < prices.length; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 2][0] - prices[i]);
        }
        return dp[prices.length - 1][0];
    }
}

解法二：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int[][] dp = new int[prices.length + 1][2];
        dp[1][0] = -prices[0];  //买入

        for(int i = 2; i <= prices.length; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 2][1] - prices[i - 1]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i - 1]);
        }
        return dp[prices.length][1];
    }
}

714. 买卖股票的最佳时机含手续费

题目链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/description/

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

解题思路

解题过程：动态规划

按照动规五部曲来分析：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

​ dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]

​ 本题的 dp[i]：第i天持有股票所得最多现金

2. 确定递推公式

• 如果第 i 天不持有股票即 dp[i][0] ， 那么可以由两个状态推出来

  • 第 i-1 天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]

  • 第 i 天卖出股票，所得现金就是卖出今天的股票后所得现金即： dp[i - 1][1] + prices[i]

​ 那么 dp[i][0] 应该选所得现金最大的，所以 dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);

• 如果第 i 天持有股票即 dp[i][1] ， 也可以由两个状态推出来

  • 第 i-1 天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即： dp[i - 1][1]

  • 第 i 天买入股票，所得现金就是按照今天股票价格买入后再减去手续费后所得现金即： dp[i - 1][0] - prices[i] - fee

​ 同样 dp[i][1] 取最大的，**dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee) **;

3. dp数组的初始化

​ 递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]

int[][] dp = new int[prices.length][2];
dp[0][0] = 0;					//不持有股票/卖出
dp[0][1] = -prices[0] - fee;	//买入股票      

4. 确定遍历顺序

​ dp[i] 是根据 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！

for(int i = 1; i < prices.length; i++){
    dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
    dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee); 
}

5. 推导dp数组

详细代码

动态规划：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        if(prices == null || prices.length == 0){
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
        dp[0][0] = 0;					//不持有股票/卖出
        dp[0][1] = -prices[0] - fee;	//买入股票

        for(int i = 1; i < prices.length; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee); 
        }
        return dp[prices.length - 1][0];
    }
}

递归：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int sum = 0;
        int buy = prices[0] + fee;

        for(int p : prices){
            if(p + fee < buy){
                buy = p + fee;
            }else if(p > buy){
                sum += p - buy;
                buy = p;
            }
        }
        return sum;
    }
}