算法训练营（day44）

动态规划理论基础

动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

举个例子：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

动态规划中 dp[j] 是由 dp[j-weight[i]] 推导出来的，然后取 max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。

动态规划的解题步骤

确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp 数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导 dp 数组

01背包理论基础

01背包的主要出题方式是：有n件物品和一个最多能背重量为 w 的背包。第 i 件物品的重量是 weight[i]，得到的价值是 value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

动规五部曲分析

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

对于背包问题，有一种写法是使用二维数组，即**dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少**。
确定递推公式

dp[i][j]由两种方式获得：
- 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为 j ，里面不放物品 i 的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)
- 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为 j - weight[i] 的时候不放物品 i 的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品 i 得到的最大价值

所以递归公式为： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

dp数组的初始化

从 dp[i][j]的定义出发：
- dp[i][0]，即背包容量j为0，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0
- dp[0][j]，即存放物品编号i为0的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值

确定遍历顺序

遍历的维度有两个：物品i 与 背包重量j

先遍历物品 还是 先遍历背包重量 其实都可以！！但是先遍历物品更好理解。
推导dp数组

01背包测试代码

public class BagProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int[] weight = {1,3,4};
        int[] value = {15,20,30};
        int bagSize = 4;
        testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
    }

    /**
     * 动态规划获得结果
     * @param weight  物品的重量
     * @param value   物品的价值
     * @param bagSize 背包的容量
     */
    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){

        // 创建dp数组
        int goods = weight.length;  // 获取物品的数量
        int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];

        // 初始化dp数组
        // 创建数组后，其中默认的值就是0
        for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {
            dp[0][j] = value[0];
        }

        // 填充dp数组
        for (int i = 1; i < weight.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {
                if (j < weight[i]) {
                    /**
                     * 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候，是不放物品i的
                     * 那么前i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值
                     */
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                } else {
                    /**
                     * 当前背包的容量可以放下物品i
                     * 那么此时分两种情况：
                     *    1、不放物品i
                     *    2、放物品i
                     * 比较这两种情况下，哪种背包中物品的最大价值最大
                     */
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
                }
            }
        }

        // 打印dp数组
        for (int i = 0; i < goods; i++) {
            for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
                System.out.print(dp[i][j] + "\t");
            }
            System.out.println("\n");
        }
    }
}

滚动数组

滚动数组，就是把二维dp降为一维dp，我们重温一下：dp[i][j] 里的i和j表达的是i是物品，j是背包容量

在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：**dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);**
再简化一下表达式，只用一个一维数组 dp[j]

dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

所以递归公式为：

1	dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

滚动数组遍历背包顺序

二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。

倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！！！

一维dp遍历一定要 先物品后背包容量 吗？

答案：是的！！！

一维dp的写法中，背包容量一定是要倒序遍历的，如果遍历背包容量放在上一层，那么每个 dp[j] 就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

倒序遍历的原因，本质上还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。

(个人理解：一维dp就是先放大的，大的塞进去还有位置就再补小的，大的塞不进就换小一号的塞，保证自己不会犯糊涂，塞了两个一样小的充当一个大的用)

完全背包理论基础

完全背包问题的出题方式是：有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。而解决01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上。

面试题：对于纯完全背包，要求先用二维dp数组实现，然后再用一维dp数组实现，最后在问，两个for循环的先后是否可以颠倒？为什么？

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！，具体分析参考：完全背包理论基础

对于实际情况，具体问题需要具体分析，一般情况下没有 纯完全背包问题 的提问方式，都需要对问题进行分析，选择 合适的遍历顺序 进行解题。

完全背包测试代码

组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序

//先遍历物品，再遍历背包（用于求组合数）
private static void testCompletePack(){
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品
        for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    for (int maxValue : dp){
        System.out.println(maxValue + "   ");
    }
}

//先遍历背包，再遍历物品（用于求排列数）
private static void testCompletePackAnotherWay(){
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量
        for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品
            if (i - weight[j] >= 0){
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
            }
        }
    }
    for (int maxValue : dp){
        System.out.println(maxValue + "   ");
    }
}

518. 零钱兑换 II （求组合数）

题目链接：https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/description/

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

解题思路

解题过程：动态规划

按照动规五部曲来分析：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]

本题的 dp[j] 表示凑成总金额 j 的货币组合数

确定递推公式

由 组合数 联系到递归公式：dp[j] += dp[j - nums[i]]

本题的递推公式为：**dp[j] += dp[j - coins[i]];**

dp数组的初始化

由 组合数 联系到 dp[0] 一定要为1，dp[0] = 1 是 递归公式的基础

只有下标非0的 dp[j] 初始化为0，这样累计加 dp[j - coins[i]] 的时候才不会影响真正的 dp[j]

dp[0]=1 还说明了一种情况：如果正好选了 coins[i] 后，也就是 j-coins[i] == 0 的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]=1表示只选 coins[i] 存在这样的一种选法。
确定遍历顺序

组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序，最终输出结果是 组合数 还是 排列数 和 两个for循环的先后顺序 紧密联系

    - 外层for循环遍历**物品（钱币）**，内层for遍历**背包（金钱总额）**	[组合数]

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！

外层for循环遍历背包（金钱总额），内层for遍历物品（钱币） [排列数]

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

此时dp[j]里算出来的就是排列数！

推导dp数组

详细代码

本题求的是 组合数：

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp = new int[amount + 1];
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < coins.length; i++){
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}

377. 组合总和 Ⅳ （求排列数）

题目链接：https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/description/

给你一个由不同整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

注意：顺序不同的序列被视作不同的组合。