算法训练营（day43）

动态规划理论基础

动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

举个例子：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

动态规划中 dp[j] 是由 dp[j-weight[i]] 推导出来的，然后取 max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。

动态规划的解题步骤

  1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
  2. 确定递推公式
  3. dp 数组如何初始化
  4. 确定遍历顺序
  5. 举例推导 dp 数组

01背包理论基础

01背包的主要出题方式是：有n件物品和一个最多能背重量为 w 的背包。第 i 件物品的重量是 weight[i]，得到的价值是 value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

动规五部曲分析

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

    对于背包问题，有一种写法是使用二维数组，即**dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少**。

  2. 确定递推公式

    dp[i][j]由两种方式获得：

    • 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为 j ，里面不放物品 i 的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)
    • 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为 j - weight[i] 的时候不放物品 i 的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品 i 得到的最大价值

​ 所以递归公式为： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

  1. dp数组的初始化

    从 dp[i][j]的定义出发：

    • dp[i][0]，即背包容量j为0，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0
    • dp[0][j]，即存放物品编号i为0的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值
动态规划-背包问题7

  1. 确定遍历顺序

    遍历的维度有两个：物品i 与 背包重量j

    先遍历物品 还是 先遍历背包重量 其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。

  2. 推导dp数组

01背包测试代码

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public class BagProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int[] weight = {1,3,4};
        int[] value = {15,20,30};
        int bagSize = 4;
        testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
    }

    /**
     * 动态规划获得结果
     * @param weight  物品的重量
     * @param value   物品的价值
     * @param bagSize 背包的容量
     */
    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){

        // 创建dp数组
        int goods = weight.length;  // 获取物品的数量
        int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];

        // 初始化dp数组
        // 创建数组后，其中默认的值就是0
        for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {
            dp[0][j] = value[0];
        }

        // 填充dp数组
        for (int i = 1; i < weight.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {
                if (j < weight[i]) {
                    /**
                     * 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候，是不放物品i的
                     * 那么前i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值
                     */
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                } else {
                    /**
                     * 当前背包的容量可以放下物品i
                     * 那么此时分两种情况：
                     *    1、不放物品i
                     *    2、放物品i
                     * 比较这两种情况下，哪种背包中物品的最大价值最大
                     */
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
                }
            }
        }

        // 打印dp数组
        for (int i = 0; i < goods; i++) {
            for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
                System.out.print(dp[i][j] + "\t");
            }
            System.out.println("\n");
        }
    }
}

滚动数组

滚动数组，就是把二维dp降为一维dp，我们重温一下：dp[i][j] 里的i和j表达的是i是物品，j是背包容量

  1. 在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
  2. 如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：**dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);**
  3. 再简化一下表达式，只用一个一维数组 dp[j]

dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

所以递归公式为：

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dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

滚动数组遍历背包顺序

二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。

倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！！！

一维dp遍历一定要 先物品后背包容量 吗？

答案：是的！！！

一维dp的写法中，背包容量一定是要倒序遍历的，如果遍历背包容量放在上一层，那么每个 dp[j] 就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

倒序遍历的原因，本质上还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。

(个人理解：一维dp就是先放大的，大的塞进去还有位置就再补小的，大的塞不进就换小一号的塞，保证自己不会犯糊涂，塞了两个一样小的充当一个大的用)

1049. 最后一块石头的重量 II

题目链接：https://leetcode.cn/problems/last-stone-weight-ii/description/

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

  • 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
  • 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0

解题思路

解题过程：动态规划

按照动规五部曲来分析：

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

​ **dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]**。

  1. 确定递推公式

​ 递归公式为： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

​ 化简为一维数组的 01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

​ 本题的递推公式为：**dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])**

  1. dp数组的初始化

    从 dp[i][j]的定义出发：

    • dp[i][0]，即背包容量j为0，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0
    • dp[0][j]，即存放物品编号i为0的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值

​ 本题dp的上限是 石头总重量的一半，因为重量不可能为负数，所以 dp的初始化定为0即可

  1. 确定遍历顺序

​ 使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

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for(int i = 0; i < len; i++){
       for(int j = target; j >= nums[i]; j--){
           dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
       }
   }
  1. 推导dp数组

详细代码

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class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int sum = 0;
        for(int s : stones){
            sum += s;
        }
        int target = sum >> 1;
        int[] dp = new int[target + 1];

        for(int i = 0; i < stones.length; i++){
            for(int j = target; j >= stones[i]; j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - 2 * dp[target];
    }
}

494. 目标和

题目链接：https://leetcode.cn/problems/target-sum/description/

给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

  • 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

解题思路

解题过程：动态规划

按照动规五部曲来分析：

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

​ 对于背包问题，**dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少**。

​ 本题的dp[j] 表示：填满 j（包括j）这么大容积的包，有 dp[j] 种方法

  1. 确定递推公式

​ 对于求组合类问题，动态规划的公式为：dp[j] += dp[j - nums[i]]

  1. dp数组的初始化

    从递推公式可以看出，对于求组合类问题在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。

  2. 确定遍历顺序

    使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

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for(int i = 0; i < len; i++){
       for(int j = target; j >= nums[i]; j--){
           dp[j] += dp[j - nums[i]]
       }
   }
  1. 推导dp数组

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class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int sum = 0;
        for(int num : nums){
            sum += num;
        }
        if(target < 0 && sum < -target){
            return 0;
        }
        if((target + sum) % 2 != 0){
            return 0;
        }
        int size = (target + sum) / 2;
        if(size < 0){
            size = -size;
        }
        int[] dp = new int[size + 1];
        dp[0] = 1;

        for(int i = 0; i < nums.length; i++){
            for(int j = size; j >= nums[i]; j--){
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[size];
    }
}

474. 一和零

题目链接：https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/description/

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

解题思路

解题过程：动态规划

按照动规五部曲来分析：

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

    dp[i][j]：最多有 i 个0和 j 个1的strs的最大子集的大小为 dp[i][j]。

  2. 确定递推公式

    动态规划的递归公式为： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有 zeroNum 个0，oneNum 个1。

    dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。然后我们在遍历的过程中，取 dp[i][j] 的最大值。

    得到本题的递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

  3. dp数组的初始化

    从 dp[i][j]的定义出发：

    • dp[i][0]，即背包容量j为0，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0
    • dp[0][j]，即存放物品编号i为0的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值

    因为本题物品价值不会是负数，初始值只需设置为0，保证递推的时候 dp[i][j]不会被初始值覆盖即可

  4. 确定遍历顺序

    本题物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。

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for(String str : strs){
       oneNum = 0;
       zeroNum = 0;
       for(char ch : str.toCharArray()){
           if(ch == '0'){
               zeroNum++;
           }else {
               oneNum++;
           }
       }
       for(int i = m; i >= zeroNum; i--){
           for(int j = n; j >= oneNum; j--){
               dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
           }
       }
   }
  1. 推导dp数组

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class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        int oneNum, zeroNum;

        for(String str : strs){
            oneNum = 0;
            zeroNum = 0;
            for(char ch : str.toCharArray()){
                if(ch == '0'){
                    zeroNum++;
                }else {
                    oneNum++;
                }
            }
            for(int i = m; i >= zeroNum; i--){
                for(int j = n; j >= oneNum; j--){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}