算法训练营（day41）

动态规划理论基础

动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

举个例子：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

动态规划中 dp[j] 是由 dp[j-weight[i]] 推导出来的，然后取 max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。

动态规划的解题步骤

  1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
  2. 确定递推公式
  3. dp 数组如何初始化
  4. 确定遍历顺序
  5. 举例推导 dp 数组

343. 整数拆分

题目链接：https://leetcode.cn/problems/integer-break/description/

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

解题思路

解题过程：动态规划

按照动规五部曲来分析：

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

    • dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积

  2. 确定递推公式

    dp[i]由两种方式获得：

    • j * (i - j)：单独分成两份进行相乘
    • j * dp[i - j]：分成两份后，再对 i-j这一份进行拆分

  3. dp数组的初始化

​ 0和1是没有意义的，因为不能拆分，所以dp从 dp[2] = 1开始

  1. 确定遍历顺序

    根据递推公式，dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));，i 和 j 都是从左到右依次遍历的；

    dp[i] 是依靠 dp[i - j] 的状态，所以遍历 i 一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]

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for(int i = 3; i <= n; i++){
       for(int j = 1; j <= i / 2; j++){
           dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
       }
   }
  1. 推导dp数组

详细代码

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class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= i / 2; j++){
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

96. 不同的二叉搜索树

题目链接：https://leetcode.cn/problems/unique-binary-search-trees/description/

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

解题思路

解题过程：动态规划

按照动规五部曲来分析：

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

    dp[i]：表示从1到i 的节点作为根节点时的排列种数

  2. 确定递推公式

    dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]

​ 化简为：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]

  1. dp数组的初始化

​ dp[0] = dp[1] = 1

  1. 确定遍历顺序

​ 遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为 i 的状态是依靠 i之前节点数的状态。

​ 那么遍历 i 里面每一个数作为头结点的状态，用 j 来遍历

  1. 推导dp数组

详细代码

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class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= i; j++){
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}