算法训练营（day38）

动态规划理论基础

动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

举个例子：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

动态规划中 dp[j] 是由 dp[j-weight[i]] 推导出来的，然后取 max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。

动态规划的解题步骤

1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp 数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导 dp 数组

509. 斐波那契数

题目链接：https://leetcode.cn/problems/fibonacci-number/description/

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

解题思路

解题过程：动态规划

1. 由题可得，每一项数字都是前面两项数字的和
2. 从 i = 2 开始遍历即可得到解

详细代码

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n < 2){
            return n;
        }
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

70. 爬楼梯

题目链接：https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/description/

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

解题思路

解题过程：动态规划

1. 每次可以爬 1 或 2 个台阶
2. 每多一个台阶，爬楼方法等于前面两次的方法和

详细代码

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

746. 使用最小花费爬楼梯

题目链接：https://leetcode.cn/problems/min-cost-climbing-stairs/description/

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

解题思路

解题过程：动态规划

1. 相比于上一题，本题多了支付费用，需要找 最小值
2. 相比于上一题，第一次爬楼梯{0,1}是不需要花费费用的
3. 从第二级台阶开始，最小支付费用等于前面两次爬楼梯支付费用的最小值
4. 动态规划，返回累计值

详细代码

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int len = cost.length;
        int[] dp = new int[len + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;

        for(int i = 2; i <= len; i++){
            dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        return dp[len];
    }
}